Régime Transitoire 2 Degrés de Liberté.

TEST n°1.

ccc

Le circuit électrique oscillant faiblement amorti est alimenté par un générateur de tension `e(t).`

1- Les tensions ` v_A-v_M` et `v_B-v_M,` sont observées sur l'écran d'un oscilloscope à deux voies à masse commune.
Faire correspondre les deux courbes (a) et (b) à ces deux tensions et les commenter ?

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Téégharger la courbe (a)                      Téégharger la courbe (b)

Réponse
  • La courbe (a) correspond à la tension `v_A-v_M.` On observe des battements amortis, une combinaison des 2 modes pseudopériodiques. Ces battements amortis oscillent autour de la valeur moyenne : ##e_{v_A-v_M }= ±\dfrac1{1+K} e_0 ##
  • La courbe (b) correspond à la tension `v_B-v_M.` On observe le mode `(v_B-v_A )+(v_A-v_M ),` c'est un mode pseudopériodique dont la pseudopériode est pratiquement égale à la plus grande période propre de ce circuit électrique oscillant. Ces oscillations amorties oscillent autour de la valeur moyenne : ## e_{v_B-v_M }= ±e_0. ##

2- De ces deux courbes :
- En déduire la valeur de l'amplitude `e_0` de `e(t).`
- Déterminer la valeur de `K` coefficient de couplage et la plus petite fréquence propre `F_1` de ce circuit électrique. En déduire la valeur de la seconde fréquence propre `F_2` ` (F_2>F_1 ).`

Réponse

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  • De la courbe (b) : ## e_{v_B-v_M}=±1,00 V \implies##
    ##e_0=1,00  V##
  • De la courbe (a) : ##e_{v_A-v_M }=±0,8  V##
    ##e_{v_A-v_M }= ±\dfrac1{1+K} e_0\implies## ## 0,8 =\dfrac1{1+K}\times1\implies## ##K=\dfrac1{0,8}-1\implies##
    ##K=0,250##
  • De la courbe (b) : ##8T_{a1}≅2  ms\implies## ##T_{a1}=0,250  ms\implies## ##T_1≅0,250  ms\implies## ##F_1=\dfrac1{T_1}\implies##
    ##F_1≅4,00  kHz##


    ##F_2=F_1 \sqrt{\dfrac{1+K}{1-K}}\implies## ##F_2≅4\times\sqrt{\dfrac{1+0,25}{1-0,25}}\implies##
    ##F_2≅5,16  kHz##

3- On mesure les valeurs de `F_2` pour différentes valeurs de `C_0.` La courbe (c) représente le tracé de ` F_2^2` en fonction de `frac{1}{C_0}.`

ccc

Téégharger la courbe (c)


- En déduire de ce graphe, l'équation de cette fonction ##F_2^2=g(1/C_0).##
- Donner les expressions théoriques de `F_1^2` et `F_2^2` en fonction des paramètres du circuit.
- En déduire les valeurs de la capacité `C` des deux condensateurs et de l'inductance `L` des deux bobines.

Réponse
  • Equation de la droite :

    ccc

    La courbe (c) est une droite son équation générale est : ##F_2^2=p(1/C_0 )+b##
    Pour déterminer la pente p on choisit 2 points de cette droite assez éloignés (voir figure ci-dessus) :
    ##p=\dfrac{ΔF_2^2}{Δ\left(\dfrac1{C_0}\right)}\implies## ## p=\dfrac{24,7-18,4}{3,5-1}\implies## ##p=2,52  (kHz)^2 μF\implies## ##p=2,52  (Hz)^2 F##
    Pour déterminer l'ordonnée à l'origine `b` soit on prolonge la droite et on lit la valeur du point d'intersection avec l'axe des ordonnées `b=15,9  (kHz)^2 ` ou bien on choisit un des 2 points qui ont servi à calculer p, ce point vérifie l'équation :
    ## 18,4=2,52 \times1+b\implies ####b=15,9  (kHz)^2##

    ##F_2^2=2,52(1/C_0 )+15,9\times 10^6 ##    où `F_2` en Hz et `C_0` en `F.`
  • Expressions théoriques :
    ##F_1^2=\dfrac1{4π^2 LC}##

    ## F_2^2=F_1^2 \dfrac{1+K}{1-K}\implies## ## F_2^2=F_1^2 \dfrac{1+\dfrac{C}{C_0+C}}{1-\dfrac{C}{C_0+C}}\implies## ## F_2^2=F_1^2 \dfrac{C_0+2C}{C_0}\implies## ## F_2^2=2CF_1^2 \left(1/C_0 \right)+F_1^\implies##
    ## F_2^2=\dfrac1{2π^2 L} \left(1/C_0 \right)+\dfrac1{4π^2 LC}##

  • Valeurs de `C` et de `L` :
    Par identification :
    ##\dfrac1{2π^2 L}=2,52\implies## ## L=\dfrac1{2\timesπ^2\times2,52}\implies##
    ## L=20,2 mH##

    ##\dfrac1{4π^2 LC}=15,9\times 10^6 \implies#### C=\dfrac1{4\timesπ^2\times0,0202\times15,9 \times 10^6 }\implies##
    ##C=78,9  nF##

    • 4- En déduire graphiquement, la valeur de `C_0` utilisée lors de la visualisation des courbes (a) et (b).

    Réponse

    ccc

    La valeur de ##F_2=5,16   kHz## a été calculée en 2/ ##\implies F_2^2=26,6  (kHz)^2.## On reporte cette valeur sur l'axe des ordonnées et on prolonge la droite puis par projection on détermine l'abscisse correspondante à cette ordonnée (voir figure ci-dessus) :
    ##1/C_0 =4,25  (μF)^{-1}\implies##
    ##C_0=0,235  μF##